Euclidean space-欧几里得空间【转】-白红宇

Euclidean space-欧几里得空间【转】

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发布时间：2019-06-12

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约在，建立了和中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。

这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 $n$ 维欧几里得空间（甚至简称 $n$ 维空间）或有限维实内积空间。本文关注于这种数学空间。

这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实（不一定完备），在教科书中也被称为欧几里得空间。为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。尽管结果的数学非常抽象，它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，所描述的在出现的时候也不是欧几里得空间。

直觉概述

有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的所成的集合。其一是，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是）应被认为是等价的（）。（参见）。

为了使这些在数学上精确，必须明确定义距离、角、平移和旋转的概念。标准方式是定义欧几里得平面为装备了的二维的。有着:

在这个向量空间中的对应于在欧几里得平面中的点，

在向量空间中的运算对应于平移，

内积蕴涵了角和距离的概念，它可被用来定义旋转。

一旦欧几里得平面用这种语言描述了，扩展它的概念到任意维度就是简单的事情了。对于大多数部分，词汇、公式、和计算对更高维的出现不造成任何困难。（但是，旋转在高维中是非常微妙，而高维空间的可视化仍很困难，即使对有经验的也一样）。

欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间于其上。直觉上，区别在于对于应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。这种技术本文中很大程度上被忽略了。

实数坐标空间

以 $\mathbb R$ 表示。对任意一个正整数n，实数的的全体构成了 $\mathbb{R}$ 上的一个n维，用 $\mathbb{R}^n$ 来表示。有时称之为实数坐标空间。

$\mathbb{R}^n$ 中的元素写作 $X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ，这里的 $x i$ 都是实数。 $\mathbb{R}^n$ 作为向量空间，其运算是这样定义的：

$\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)$

$a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n)$

通常引入实数坐标空间 $\mathbb{R}^n$ 的：

$\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0)$

$\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0)$

$\vdots$

$\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1)$

于是 $\mathbb{R}^n$ 中任意的向量可以表示成下面的形式：

$\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i$

n维实数坐标空间是实n维向量空间的。事实上，每一个n维向量空间 $V\$ 都可以看作实数坐标空间—— $V\$ 与 $\mathbb{R}^n$ 是的（isomorphic）。不过这个同构不是（Canonical）的，每个同构的选择都相当于在 $V\$ 中选择了一组（即 $\mathbb{R}^n$ 的n个标准基在 $V\$ 中的同构）。我们有时候只着眼于任意n维向量空间而不是具体的 $\mathbb{R}^n$ ，这是因为不希望为坐标的概念所束缚（即，有时候不必选择 $V\$ 中特定的一组基）。

欧几里得结构

至于欧几里得空间，则是在 $\mathbb{R}^n$ 上再添加一些内容：欧几里得结构。

为了做，人们希望能讨论两点间的，直线或向量间的。一个自然的方法是在 $\mathbb{R}^n$ 上，对任意两个向量 $\mathbf{x}$ 、 $\mathbf{y}$ ，引入它们的“标准” $\text{[math]}$ （一些文献上称为，记为 $\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}$ ）：

$= \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$ 。

也就是说， $\mathbb{R}^n$ 中的任意两个向量对应着一个实数值。我们把 $\mathbb{R}^n$ 及这样定义的内积，称为 $\mathbb{R}^n$ 上的欧几里得结构；此时的 $\mathbb{R}^n$ 也被称为n维欧几里得空间，内积"<,>"称为欧氏内积。

利用这个内积，可以建立距离、长度、角度等概念：

向量 $\mathbf{x}$ 的长度：

$\|\mathbf{x}\| = \sqrt{} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}$

这里的长度函数满足所需的性质，故又称为 $\mathbb{R}^n$ 上的欧氏范数。

$\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 所夹的内角以下列式子给出

$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)$

这里的 $cos - 1$ 为。

最后，可以利用欧氏范数来定义 $\mathbb{R}^n$ 上的距离函数，或称：

$d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$ 。

这个距离函数称为，它可以看作一种形式。

这里的 $\mathbb{R}^n$ 仅指实数向量空间，而加入了如上定义的欧几里得结构后才称为欧氏空间；有些作者会用符号 $\mathbb{E}^n$ 来标记之。欧氏结构使 $\mathbb{E}^n$ 具有这些空间结构：、、以及。

欧氏拓扑

因为欧氏空间是一个，因此也是一个具有由度量推导出的自然拓扑的。 $\mathbb{E}^n$ 上的度量拓扑被称为是欧氏拓扑。欧氏拓扑中的集是的当且仅当它包含了该集的每一点周边的。可以证明，欧氏拓扑等价于 $\mathbb{R}^n$ 上的。

关于 $\mathbb{R}^n$ 上拓扑的一个并不浅显易懂的重要结论是，的。任意 $\mathbb{R}^n$ 的子集（以及其）与另外一个 $\mathbb{R}^n$ 的子集的话，那么这个子集自己是的。这个结果的一个直接的结论就是 $\mathbb{R}^m$ 与 $\mathbb{R}^n$ 不，当 $m\neq n$ 。